単振動
単振動
物体に定点からの距離に比例する引力が働く場合の運動を単振動、または調和振動と呼ぶ。そのため物体に働く力は
\[F=-k(x-x_c)(k\gt 0)\tag{1}\]
と書ける。また運動方程式は、$ \ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\ $を用いて、
\[\ddot{x}=-\omega ^2 (x-x_c)\tag{2}\]
と書ける。この微分方程式は$ \ \cos\omega t、\sin \omega t \ $を解にもつので、一般解は両者の重ね合わせで与えられ、
\[x-x_c=A\cos \omega t + B\sin \omega t \tag{3}\]
となる($ \ A、B \ $は定数)。またこの二つの三角関数を合成すると、
\[x-x_c=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega t+\delta)\tag{4}\]
とも書ける。これは、等速円運動の正射影の運動と同一である。
この運動は、$ \ x_c \ $を振動中心として、振幅$ \ A_m=\sqrt{A^2+B^2} \ $で振動する運動である。また振動の速さを表す特徴量として、角振動数(角周波数)$ \ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\ $、振動数$ \ f=\frac{\omega}{2\pi} \ $、周期$ \ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f} \ $がある。これらは、振幅が初期条件で定まるのに対し、振動中心・角振動数・振動数・周期は初期条件に依らない。
一般解
ある初期条件のときの一般解を求めておく。初期条件が、$ \ t=t_0 \ $で$ \ \dot{x}=v_0、x=x_0 \ $のとき、
\[x-x_c=A\cos \omega (t-t_0) + B\sin \omega (t-t_0)\]
両辺微分して、
\[\dot{x}=-\omega A\cos \omega (t-t_0) + \omega B\cos \omega (t-t_0)\]
初期条件より、
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
A=x_0-x_c\\
B=\frac{v_0}{\omega}\\
\end{array} \right.\tag{5}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\therefore x-x_c
&=&(x_0-x_c)\cos \omega (t-t_0)\\
&+&\frac{v_0}{\omega}\sin \omega (t-t_0)\tag{6}
\end{eqnarray}
保存量
単振動におけるエネルギー保存は、(2)をエネルギー積分することで、
\[\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)=-k(x-x_c)v\]
\[\therefore\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k(x-x_c)^2)=0\tag{7}\]
となるから、ばねの位置エネルギー$ \ U \ $は$ \ U = \frac{1}{2}k(x-x_c)^2 \ $となることがわかる。
また(6)を微分すると、
\begin{eqnarray}
\frac{v}{\omega}
&=&-(x_0-x_c)\sin \omega (t-t_0)\\
&+&\frac{v_0}{\omega}\cos \omega (t-t_0)\tag{8}
\end{eqnarray}
(6)、(8)より、
\begin{eqnarray}
&&(x-x_c)^2+(\frac{v}{\omega})^2\\
&=&(x_0-x_c)^2+(\frac{v_0}{\omega})^2\\
&=&A_m^2\tag{9}
\end{eqnarray}
したがって、振幅の二乗$ \ A_m^2 \ $は保存量となることがわかる。
また、(力学的エネルギー$ \ E \ $)=(運動エネルギー$ \ K \ $+ポテンシャルエネルギー$ \ P \ $)とすると、(7)、(9)より、
\begin{eqnarray}
E&=&\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k(x-x_c)^2\\
&=&\frac{1}{2}kA_m^2\tag{10}
\end{eqnarray}
以上より、保存量の振幅の二乗は力学的エネルギーの保存に対応していることがわかる。