反射・透過

位相のズレ

　波が異なる二つの媒質からなる境界面を通過する場合、透過波は位相のズレは生じない。一方、反射波については、密から疎への入射の場合は位相はズレないが、疎から密への入射の場合は位相が逆転する。なぜこの位相の逆転が起こるのかをこの章では考察していく。

　上図のように、入射波が$ \ x=0 \ $の境界面で透過波と反射波に分かれる状況を考える。入射波、反射波、透過波の変位をそれぞれ$ \ y_i \ $、$ \ y_r \ $、$ \ y_t \ $と表すと、それぞれ以下のように表現できる。

\begin{array}{l}
y_i= A\sin\omega(t-\frac{x}{v_1})\\
y_r= B\sin\omega(t+\frac{x}{v_1})\\
y_t= C\sin\omega(t-\frac{x}{v_2})
\end{array}

　ここで、波の周波数は媒質によらない為$ \ \omega \ $とおいた。ここで$ \ x=0 \ $では、媒質$ \ I_1\ $、$ \ I_2 \ $が接している為、入射波と反射波の合成波の変位は透過波の変位と常に等しくなければならない(境界条件)。したがって、以下の式が成り立つ。

\[A\sin\omega t+B\sin \omega t = C\sin\omega t\]

\[\therefore A+B=C \tag{1}\]

　また、入射波が反射波と透過波に分かれるので、単位時間あたりの入射波のエネルギーが単位時間あたりの反射波と透過波の合計のエネルギーと等しくなる。したがって、入射波の強度と反射波と透過波の合計の強度が等しくなるので以下の式が成り立つ。

\[\frac{1}{2}\rho_1 A^2\omega ^2v_1=\frac{1}{2}\rho_1 B^2\omega ^2v_1+\frac{1}{2}\rho_2 C^2\omega ^2v_2\]

\[\therefore A^2-B^2=\frac{\rho_2v_2}{\rho_1v_1}C^2\tag{2}\]

(1)、(2)より、以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
B = \frac{\rho_1 v_1-\rho_2 v_2}{\rho_1 v_1+\rho_2 v_2}A \tag{3}\\
C = \frac{2\rho_1 v_1}{\rho_1 v_1+\rho_2 v_2}A
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

　これより、$ \ C>0 \ $となるので透過波の位相はずれないことがわかる。一方反射波については、$ \ v_i = \sqrt{\frac{T}{\rho_i}} ;\ $より、$ \ \rho_1>\rho_2 \ $のとき、$ \ B>0 \ $となり位相はずれないが、$ \ \rho_1<\rho_2 \ $の場合は$ \ B < 0 \ $となり、位相は$ \ \pi \ $ずれることがわかる。

　次に、特別な場合に位相がどうなるかについて考えてみる。$ \ \rho_1=\rho_2 \ $の場合は、$ \ B=0 \ $、$ \ C=A \ $となり、境界がない場合に相当する。また$ \ \frac{\rho_2}{\rho_1} \to \infty \ $の場合は、$ \ B=-A \ $、$ \ C = 0 \ $となり、固定端への入射に相当する。そして$ \ \frac{\rho_2}{\rho_1} \to 0 \ $の場合は、$ \ B=A \ $、$ \ C = 2A \ $となり、自由端への入射に相当する。