波動の表現

重ね合わせの原理とホイヘンス＝フレネルの原理

　波動とは、振動が空間を伝播する現象である。波動を考えていくうえで非常に重要になっていくのが、重ね合わせの原理とホイヘンス＝フレネルの原理である。重ね合わせの原理とは、同じ空間を複数の波が伝播する場合において、複数の波が重なった点での波(合成波)の形は、それぞれの波が独立に作る波形の足し合わせとなり、それ以外の場所では互いに影響を与えないという原理である。また、ホイヘンス＝フレネルの原理とは、波面の各点から新たに球面波（素元波）が発生しそれらの重ね合わせによって波が伝わっていくという原理である。
　これらの原理を用いることで、波の重要な性質である回折や干渉を説明することができる。

波動の表現

　波というと多くの場合周期的に変動するものを指すことが多いが、一般には人の声のような不規則な波形のものもある。これらの波を表現するにはフーリエ級数と呼ばれるものを用いる。詳しい解説は省くが、簡単にいうとどんな複雑な波形であっても正弦波の重ね合わせで書けるということである。したがって、正弦波について理解しておけばどんな波もその足し合わせで理解することができる。そのため、以下では正弦波について議論する。

　波源が単振動する場合を考える。角振動数$ \ \omega \ $、波の伝播速度$ \ c \ $、振幅$ \ A \ $、初期位相$ \ \phi \ $とすると、波源の位置での波の変位$ \ y_0(t) \ $は、

\[y_0(t)=A\sin (\omega t + \phi)\]

のように書ける。次に波源から距離$ \ x \ $離れた位置での変位$ \ y(x,t) \ $を考える。波源から波が伝播するのには$ \ \frac{x}{c} \ $かかる。よって、波源から距離$ \ x \ $離れた位置では、波源において時刻$ \ t'=t-\frac{x}{c} \ $における位相の波が到達することなる。したがって波の減衰を無視すれば、

\[y_(x,t)=A\sin (\omega (t-\frac{x}{c}) + \phi)\tag{1}\]

となる。$ \ \sin \ $の中身は位相と呼ばれ、$ \ \theta(x,t)　\ $とする。$ \ \theta(x,t)　\ $は他の振動の特徴量を用いて書き換えることもできる。例えば波の周期的な長さである波長$ \ \lambda \ $と単位時間当たりの振動回数である振動数(周波数)$ \ f \ $を用いると、波源との位相のずれは$ \ \frac{2\pi}{\lambda}x \ $と書けるので、

\[\theta(x,t)=2\pi (ft-\frac{x}{\lambda}) + \phi \tag{2}\]

と書ける。また、単位長あたりの位相の変化である波数$ \ k \ $を用いれば、

\[\theta(x,t)=\omega t-kx + \phi \tag{3}\]

とも書ける。